Парадокс антиподов

Ошибочность СТО очень просто доказывается всей жизнью человечества на планете Земля. Рассмотрим элементарное логическое противоречие СТО - парадокс антиподов. Два антипода на экваторе (например, один человек - в Бразилии, а другой - в Индонезии) отличаются тем, что за счет вращения Земли они движутся друг относительно друга в каждый момент времени с постоянной по модулю скоростью (Рис. 1.5).

Рисунок 1.5: Парадокс антиподов.

Следовательно, несмотря на очевидную симметрию задачи, каждый из них должен постареть или помолодеть относительно другого. Мешает тяготение? Уберем его и поместим каждого из наших "космонавтов" в кабину. Время на такой "карусели" каждый сможет установить (как и на Земле) по направлению на неподвижную относительно центра карусели далекую звезду и по периоду собственного вращения карусели. Очевидно, течение времени будет одинаковым для обоих "космонавтов". Синхронизовать время можно расчетным методом, зная период обращения (это все не принципиальные, а технические вопросы). Увеличим линейную скорость $v\rightarrow c$ для усиления эффекта, например, чтобы по формулам СТО разница в ходе времени "набегала" 100 лет за один год. Мешает центробежная сила (ускорение)? Будем увеличивать радиус карусели $R$ так, чтобы $v^2/R\rightarrow 0$ (например, чтобы даже за 100 лет интегральный эффект от такого ускорения был на много порядков меньше, чем существующая точность его измерения). Тогда ни один эксперимент не отличит движения антиподов от прямолинейного, то есть неинерциальность системы не сможет быть обнаружена экспериментально за все время проведения опыта. Бороться релятивистам за необходимость принципиальной инерциальности системы не стоит. Напомним, что даже в такой строгой науке как математика (например, при обосновании теории действительных чисел) используется понятие $\varepsilon$ - сколь угодно малого наперед заданного числа. В нашем случае для строго математического перехода отношение центробежного ускорения $v^2/R$ к центробежному ускорению на Земле $a_{c}$ может быть сделано меньше любой сколь угодно малой величины $\varepsilon$ за счет выбора большого радиуса "карусели" $R$ (например, можно взять $\varepsilon\sim 10^{-10}$ или $\varepsilon\sim 10^{-100}$, а ведь все опыты СТО выполнены на Земле с $\varepsilon\sim 1$!). А далее, если вы верите в относительность (либо согласно СТО, либо согласно Галилею - безразлично, поскольку мы сравниваем длительности), то движение одного из антиподов можно параллельно перенести поближе к другому антиподу и вовсе забыть про модель карусели. Очевидно, что для любых двух прямолинейных движений с одинаковыми по модулю, но противоположными по направлению скоростями, всегда можно проделать и обратную мысленную операцию: совершить параллельный перенос одной из траекторий на большое расстояние $R\rightarrow\infty$ и соединить движения некоторой "каруселью". Итак, через несколько лет "жив пациент или мертв"? И кто вам больше нравится, Бразилец или Индонезиец? Полная симметрия задачи и полный провал СТО. Заметим, вообще говоря, что единый характер времени отменяет принципиальность вопроса о его синхронизации: часы можно, например, носить с собой. Сомнения по поводу "почти" инерциальности движений будут обсуждены далее в Главе 3. А для тех релятивистов, которые "принципиально" будут пытаться закрыть глаза себе и другим на возможность перехода к большим R, можно предложить вписать в окружность большого радиуса правильный n-угольник (n не меньше трех; в каждом угле расположен неподвижный наблюдатель) и рассмотреть теперь уже чисто прямолинейные движения ракет с космонавтами вдоль сторон этого n-угольника (даже одинаковые петли для набора одинаковых скоростей с помощью одинаковых "земных" ускорений g можно одинаково пристыковать к углам этого n-угольника). Очевидно, что для неподвижного наблюдателя (например, в центре окружности) все эти инерциальные системы ракет совершенно равноправны и ход времени в ракетах будет одинаков, несмотря на движение ракет друг отностительно друга. Мы также можем нарисовать очевидную симметричную схему типа "цветка" для возможности одновременного старта и финиша космонавтов в центре окружности (см. Рис. 1.6).

Рисунок 1.6: Симметричная модель "цветка".

Поскольку мы сравниваем ход времени (а не начало отсчета времени), можно воспользоваться равенством хода времени для любых взаимно покоящихся объектов. Тогда модель карусели легко может быть обобщена на случай плоских движений двух объектов с произвольными скоростями как по величине так и по направлению. Это чисто геометрическая тривиальная задача (см. Рис. 1.7).

Рисунок 1.7: Модель карусели для произвольных плоских движений.

Например, пусть мы имеем два объекта, которые совершают прямолинейные движения, изображенные на рис. 1.7 векторами скоростей $\overrightarrow{AA_1}$ и $\overrightarrow{BB_1}$. Пусть эти скорости равны по модулю и по величине близки к скорости света $v\rightarrow c$. Выбираем в пространстве произвольную точку $O$ и проводим окружность с центром в точке $O$ и таким радиусом $R$, чтобы центробежное ускорение было меньше некоторой наперед заданной малой величины $\varepsilon_1$ (например, существующей точности измерения ускорений): $v^2/R < \varepsilon_1$, то есть $R > v^2/\varepsilon_1$. Проводим прямую $AA_2$ перпендикулярную $AA_1$. Через точку $O$ проводим прямую $A_3A_4$, параллельную прямой $AA_2$. В точке пересечения нашей окружности и данной прямой проводим вектор $\overrightarrow{A_3A_5}$, равный по модулю $\vert\overrightarrow{AA_1}\vert$ и параллельный $\overrightarrow{AA_1}$. Фактически, мы просто совершили параллельный перенос движения $\overrightarrow{AA_1}$. Проделав аналогичную процедуру с движением $\overrightarrow{BB_1}$, получим $\overrightarrow{B_3B_5}$. Теперь оба движения находятся на одной окружности и с существующей экспериментальной точностью не могут быть отличимы от инерциального движения. Вследствие очевидной симметрии задачи, время для таких движущихся объектов будет течь одинаково. Например, длительность времени может измеряться периодическими вспышками, приходящими из центра окружности $O$. Возьмем теперь прямолинейное движение, характеризующееся вектором скорости $\overrightarrow{CC_1}$, параллельным $\overrightarrow{AA_1}$, но с другим модулем. Совершим параллельный перенос движения и получим $\overrightarrow{C_3C_5}$ (при этом взят радиус окружности $\vert OC_3\vert=R\vert\overrightarrow{C_3C_5}\vert/\vert\overrightarrow{A_3A_5}\vert$). В этом случае мы видим, что два объекта (характеризующиеся скоростями $\overrightarrow{A_3A_5}$ и $\overrightarrow{C_3C_5}$) будут двигаться вдоль концентрических дуг окружностей $A_3a$ и $C_3d$, оставаясь друг от друга на одинаковом расстоянии вдоль радиусов окружностей. (На рис. 1.7 только для наглядности изображены большие дуги, то есть увеличены угловые меры; на самом деле, все дуги по угловой мере будут очень малы и неотличимы от прямолинейных участков). Очевидно, что для таких объектов время также будет течь одинаково. Опять время может "отмеряться" периодическими вспышками из центра О (сколько световых сфер будет проходить через окружность $C_3d$, столько же будет проходить и через окружность $A_3a$ - световые сферы нигде "не прячутся, не исчезают, не конденсируются и не добавляются"). При этом мы можем продолжить окружность, проходящую через точку $C_3$, и в любой новой точке провести вектор $\overrightarrow{D_3D_5}$, касательный к окружности и равный по модулю $\vert\overrightarrow{C_3C_5}\vert$. Опять объекты, движущиеся со скоростями $\overrightarrow{D_3D_5}$ и $\overrightarrow{C_3C_5}$, находятся на одной окружности и, вследствие симметрии задачи, время для них будет течь одинаковым образом. В итоге, на примере движений со скоростями $\overrightarrow{A_3A_5}$ и $\overrightarrow{D_3D_5}$ или $\overrightarrow{B_3B_5}$ и $\overrightarrow{C_3C_5}$, мы доказали, что время совершенно не зависит ни от величины, ни от направления скорости плоского движения объектов, а течет одинаковым образом. Переход к трехмерному движению для точечных объектов также совершается элементарно. Вначале один из векторов скорости переносится к началу второго вектора. Теперь через эти пересекающиеся прямые проводится плоскость, в которой уже можно выполнить все описанные ранее построения. Таким образом, время совершенно не зависит от взаимного движения инерциальных систем.