1.6 Das relativistische Gesetz der Geschwindigkeitsaddition

Wir möchten Sie daran erinnern, dass sich die Kinematik mit der Suche nach den Gründen der Bewegung nicht beschäftigt, sondern behauptet, zum Beispiel, folgendes: wenn die Geschwindigkeiten vorgegeben sind, kann man das Ergebnis der Geschwindigkeitsaddition finden. Die Fragen der Dynamik der Teilchen (die befasst sich mit den Gründen der Bewegungen) fordern eine abgesonderte Betrachtung (s. Kapitel 4).

Machen wir jetzt eine Bemerkung über die relativistischen Gesetze der Geschwindigkeitsaddition. Für zwei Systeme, die unmittelbar an der relativen Bewegung teilnehmen, entsteht kein Zweifel bei der Bestimmung ihrer relativen Geschwindigkeit (weder in der klassischen Physik, noch in der SRT). Das System $S_2$ soll sich bezüglich des Systems $S_1$ mit der Geschwindigkeit $v_{12}$ bewegen; es ist ähnlich, das System $S_3$ bewegt sich bezüglich des Systems $S_1$ mit der Geschwindigkeit $v_{13}$. Tatsächlich bestimmt das relativistische Gesetz der Geschwindigkeitsaddition die relative Geschwindigkeit jener Bewegung, an der der Beobachter selbst nicht teilnimmt. Die Geschwindigkeit der Bewegung des Systems $S_3$ bezüglich des Systems $S_2$ wird sich so bestimmen:

$$v_{23} = {v_{13} - v_{12}\over 1 - {v_{13}v_{12}\over c^2}}.$$ (1.5)

Gerade in solcher Form (obwohl wird $v_{13}$ durch $v_{12}$ und $v_{23}$ gewöhnlich ausgedrückt) wird das wahrhafte Wesen dieses Gesetzes geöffnet: er besagt, welche relative Geschwindigkeit der Systeme $S_3$ und $S_2$ der Beobachter in $S_1$ registrieren wird, wenn er die Einsteinregel für die Zeitsynchronisation (mit Hilfe der Lichtsignale) und die Längenmessung benutzen wird. In der Tat haben wir "das Scheingesetz" wieder. (Für den Fall der möglichen parametrischen Abhängigkeit der Lichtgeschwindigkeit von der Frequenz wird der Ausdruck geändert – s. Anlagen.)

Betrachten wir folgende methodische Bemerkung. Recht seltsam für kinematische Begriffe ist die Nichkommutativität des relativistischen Gesetzes der Geschwindigkeitsaddition für nichtkollineare Vektoren. Die Eigenschaft der Nichkommutativität (und daß die Lorentztransformationen ohne Drehungen keine Gruppe bilden) wird kaum in einigen Lehrbüchern für theoretische Physik erwähnt. Doch ändert ähnliche Eigenschaft, zum Beispiel, in der Quantenmechanik den ganzen mathematischen Apparat wesentlich und drückt physisch die gleichzeitige Nichtmessbarkeit der nicht kommutierenden Größen aus.

Aus dem allgemeinen relativistischen Gesetz der Geschwindigkeitsaddition

$${\bf v}_3 = {({\bf v}_1{\bf v}_2){\bf v}_1/v_1^2 + {\bf v}_1 + \... ...v}_2 - ({\bf v}_1{\bf v}_2){\bf v}_1/v_1^2)\over 1 + ({\bf v}_1{\bf v}_2)/c^2}$$ (1.6)

ist es sichtbar, dass das Ergebnis von der Ordnung der Transformation abhängt: zum Beispiel, im Falle der Reihenfolge

$$+v_1{\bf i}, -v_1{\bf i}, +v_2{\bf j}, -v_2{\bf j},$$

wo ${\bf i}$ und j - Ortsvektoren des rechteckigen Koordinatensystems sind, bekommen wir die zusammenfassende Nullgeschwindigkeit, und für die andere Ordnung derselben Größen

$$+v_1{\bf i}, +v_2{\bf j}, -v_1{\bf i}, -v_2{\bf j}$$

werden wir die Nichtnullgeschwindigkeit bekommen, die von den Geschwindigkeiten $v_1$ und $v_2$ recht kompliziert abhängt.

Die konsequente Anwendung der Transformationen (Bewegungen) $v_1{\bf i}$ und $v_2{\bf j}$ bringt zu

$${\bf v}_3 = v_1{\bf i} + \sqrt{1-v_1^2/c^2}v_2{\bf j},$$

und in der anderen Ordnung $v_2{\bf j}$ und $v_1{\bf i}$ bringt zu

$${\bf v}'_3 = v_2{\bf j} + \sqrt{1-v_2^2/c^2}v_1{\bf i},$$

das heißt, wir bekommen verschiedene Vektoren (Abb. 1.21).

Abbildung 1.21: Parallelogramme der Geschwindigkeiten in der SRT.

Was kann die Zerlegung des Vektors der Geschwindigkeit in die Komponenten in diesem Fall bedeuten? Erstens ist die Versetzung der klassischen Elementarmethoden der Berechnungen (die kommutative Algebra) auf die relativistischen Gleichungen (nichtkommutative) unrechtmäßig: sogar die Lösung der vektoriellen Gleichungen komponentenmäßig erfordert zusätzliche Postulate, Komplizierungen oder Erläuterungen. Zweitens ist die einfache Anwendung der Methoden der klassischen Physik (des Prinzips der virtuellen Versetzungen, der Variationsmethoden usw.) unmöglich. Man sollte sogar die Null "individualisieren": die Zahl "der Nullgrößen", die aus bestimmter vektorieller Kombination zusammengesetzt sind, soll der Zahl "der Nullgrößen" gleich sein, die aus der vektoriellen Spiegelkombination gebildet sind. Also würde die Theorie der Fluktuationen auch eine zusätzliche Begründung brauchen. So sollte man trotz der These "über die Einfachheit und die Eleganz der SRT" für die richtige Begründung sogar der Elementarprozeduren eine Menge von künstlichen Komplizierungen und Erläuterungen einführen (was in Lehrbüchern fehlt).

Betrachten wir einen logischen Widerspruch des relativistischen Gesetzes der Geschwindigkeitsaddition am Beispiel des eindimensionalen Falls. Mögen wir die Waage haben, die die Form der waagerechten Rinne mit der waagerechten querlaufenden Achse in der Mitte der Rinne hat. In der Rinne werden zwei gleiche Kugeln der Masse m in verschiedenen Richtungen von der Achse (Abb. 1.22) rollen.

Abbildung 1.22: Gesetz der Geschwindigkeitsaddition und Widerspruch der Waage.

Um jetzt den Besprechungen der Eigenschaften der relativistischen Masse zu entgehen, werden wir folgenderweise handeln. Es fehle die Reibung der Waageachse überall, ausschließlich den Punkt der waagerechten Lage ("der tote Punkt"). In dieser Lage lässt die Schwelle der Reibungsrkaft der Waage nicht zu, sich durch mögliche kleine Differenzen der relativistischen Massen in Bewegung zu setzen (zwischen den Kugeln), aber diese Schwelle der Sensibilität kann das Drehen der Waage (vom "toten Punkt") beim Fehlen einer der Kugeln nicht verhindern (falls die fällt).

Mögen die Geschwindigkeiten der Kugeln im System der Waage dem Modul nach identisch sein. Dann rollen die Kugeln in diesem System gleichzeitig bis zu den Rändern und fallen nach unten so, dass die Waage in der waagerechten Lage bleibt. Betrachten wir jetzt dieselbe Bewegung im System, bezüglich dessen sich die Waage mit der Geschwindigkeit $V$ bewegt. Es soll nur $V \rightarrow c$, und $v\ll v_s$, wo $v_s$ die Schallgeschwindigkeit im Rinnenmaterial ist. Dann kann man die Waage für absolut unnachgiebig halten (Schallwellen ignorieren). Laut dem relativistischen Gesetz der Geschwindigkeitsaddition

$$v_1 = {V-v\over 1-vV/c^2}~, ~~~~~ v_2 = {V+v\over 1+vV/c^2}~.$$

Die Bewegung des mittleren Punktes mit der Geschwindigkeit

$${v_1 + v_2\over 2} = V{1 - v^2/c^2\over 1 - v^2V^2/c^4} < V$$

bleibt von der Bewegung der Waage immer zurück. So wird als erste die Kugel fallen, die sich gegen die Richtung der Bewegung der Waage bewegt. Daraufhin wird das Gleichgewicht der Waage gestört, und die Waage beginnt, sich zu drehen. Wir haben den Widerspruch mit den Angaben des ersten Beobachters. Was wird mit dem Beobachter, wenn er unter dem rechten Teil der Waage steht?

Ob die Lorentztransformationen die konsequenten Übergänge von einem Inertialsystem zum anderen beschreiben können und ob das relativistische Gesetz der Geschwindigkeitsaddition den realen Geschwindigkeitsveränderungen entspricht? Natürlich, nicht. Fürs erste werden wir Sie daran erinnern, welcher Sinn ins relativistische Gesetz der Geschwindigkeitsaddition eingelegt wurde. Es soll beweisen, dass die Addition der Bewegungen zur Geschwindigkeit nicht bringen kann, die höher als die Lichtgeschwindigkeit ist. Wie kann man die Bewegungen in diesem Fall addieren? Zum Beispiel bewegt sich unsere Erde (tatsächlich existiert das erste bewegte Bezugssystem) bezüglich der Sterne, von der Erde startet das Raumschiff mit großer Geschwindigkeit (tatsächlich ist das zweite bewegte Bezugssystem "geschaffen"), dann von diesem Raumschiff startet die nächste Rakete (das dritte Bezugssystem) usw. Gerade es soll unter der konsequenten Anwendung der Transformationen gemeint werden. Dann fällt, zum Beispiel, die Frage darüber weg, welche Geschwindigkeit man im Gesetz der Geschwindigkeitsaddition für die erste und welche für die zweite halten soll (es ist für nichtkommutative Transformationen wichtig). In diesem Sinne wurden alle Beispiele oben angeführt.

Betrachten wir jetzt die Lorentztransformationen für willkürliche Richtungen der Bewegung:

$${\bf r}_1 = {\bf r} + {1\over V^2}\biggl ( {1\over \sqrt{1-V^2/c^2}} - 1 \biggr ) ({\bf rV}){\bf V} + {{\bf V}t\over \sqrt{1-V^2/c^2}},$$

$$t_1 = {t + ({\bf rV})/c^2\over \sqrt{1-V^2/c^2}}.$$

Es ist leicht, zu überprüfen, dass die konsequente Anwendung des relativistischen Gesetzes der Geschwindigkeitsaddition (1.6) zu den Größen

$$v_1{\bf i}, ~~ v_2{\bf j}, ~~ -v_1{\bf i} - v_2\sqrt{1-v_1^2/c^2}{\bf j}$$ (1.7)

eine Null gibt.

Wir werden zu einem willkürlichen Vektor ${\bf r} = x{\bf i} + y{\bf j}$ konsequent die Lorentztransformationen mit demselben Satz der Geschwindigkeiten verwenden. Wir haben:

$${\bf r}_1 = {x+v_1t\over \sqrt{1-v_1^2/c^2}}{\bf i} + y{\bf j},$$

$$t_1 = {t+xv_1/c^2\over \sqrt{1-v_1^2/c^2}}.$$

Weiter haben wir:

$${\bf r}_2 = {x+v_1t\over \sqrt{1-v_1^2/c^2}}{\bf i} + {y\sqrt{1-v_1^2/c^2}+ v_2t+xv_1v_2/c^2\over \sqrt{1-v_1^2/c^2}\sqrt{1-v_2^2/c^2}}{\bf j},$$

$$t_2 = {t+xv_1/c^2+yv_2\sqrt{1-v_1^2/c^2}/c^2\over \sqrt{1-v_1^2/c^2}\sqrt{1-v_2^2/c^2}}.$$

Wir werden die Ausdrücke für ${\bf r}_3$ und $t_3$ in der offenbaren Art wegen ihrer Sperrigkeit nicht ausschreiben.

Die graphischen Programme verwendend, kann man sich jedoch folgender Eigenschaften vergewissern:
1) die Anfangszeit ist im neuen System in einem beliebigen Punkt des Raumes, außer dem Anfang der Koordinaten entsynchronisiert.
2) die Zeiträume haben sich geändert: $dt_3\ne dt$, das heißt, wir sind nicht ins ursprüngliche ruhende System sondern in ein neues bewegtes System geraten. Also wird der Sinn der Lorentztransformationen oder des relativistischen Gesetzes der Geschwindigkeitsaddition mindestens in Lehrbüchern nicht ganz genau erschlossen.
3) Die Abschnitte zeigen sich nicht nur mit geänderter Länge sondern auch umgedreht. Davon kann man sich leicht überzeugen, wenn man den Winkel der Wendung numerisch findet, das heißt die Differenz

$$\alpha = \arctan\Biggl ( {y_3[x(1),y(1),t]-y_3[x(0),y(0),t]\over x_3[x(1),y(1),t]-x_3[x(0),y(0),t]}\Biggr ) -$$

$$- \arctan\Biggl ( {y(1)-y(0)\over x(1)-x(0)}\Biggr ) .$$

Man kann, so viel man will, diese Eigenschaften mathematisch durch die Pseudoeuklidität der Metriken erklären, jedoch ist physisch alles einfach. Diese Eigenschaften beweisen den nicht objektiven (nur den angeblichen) Charakter der Lorentztransformationen und des relativistischen Gesetzes der Geschwindigkeitsaddition und ihre Nichtübereinstimmung untereinander. Wirklich, da wir von einem Inertialsystem zu anderem konsequent übergingen, und die Wendung bedeutet die Nichtinertialität des Systems, überschreitet die SRT selbst die Rahmen eigener Anwendbarkeit, das heißt, sie ist widersprüchlich. Wäre diese Wendung real, so würde es die Objektivitätslosigkeit des Begriffes des Inertialsystems (weil das Ergebnis von der Methode des Übergangs zum gegebenen System abhängen würde) und als Folge das Fehlen der Basis selbst für die Existenz der SRT bedeuten.

Versuchen wir zu klären, warum die Deutungen aus Lehrbüchern zur Nichtübereinstimmung zweier Ausdrücke bringen: des relativistischen Gesetzes Geschwindigkeitsaddition und der Lorentztransformationen, obwohl der erste Ausdruck aus dem zweiten abgeleitet wird. Wir erinnern Sie an diese Schlussfolgerung am Beispiel der eindimensionalen gegenseitigen Bewegung der Systeme $K$ und K'. Ausgehend von den Lorentztransformationen

$$x_1 = {x+Vt\over \sqrt{1-V^2/c^2}}~, ~~~~ t_1 = {t+Vx/c^2\over \sqrt{1-V^2/c^2}}$$

teilen wir das Differential $dx_1$ auf $dt_1$ unter Berücksichtigung der Bestimmungen $v=dx/dt$ und $v_1=dx_1/dt_1$ und bekommen:

$$v_1 = {v+V\over 1+vV/c^2}.$$

Daraus sieht man folgendes:
1) Der Beobachter befindet sich im Zentrum des Systems $K$ und mißt die Entfernung $x$ bis zum untersuchten Körper im System $K$.
2) Er hält die Zeit $t$ für einheitlich in seinem System und bestimmt die Geschwindigkeit des Körpers in seinem System $v=dx/dt$.
3) Er misst die Geschwindigkeit $-V$ des Systems K' bezüglich $K$, indem er seine (!) Zeit $t$ benutzt, und hält die relativen Geschwindigkeiten der Systeme gegenseitig rückgängig nach der Richtung. Nichts anderes kann dieser Beobachter messen: die zusammenfassende Größe der Geschwindigkeit $v_1$ ist eine berechnete Größe. So kommen wir zur Deutung [49], die früher dargelegt ist: das relativistische Gesetz der Geschwindigkeitsaddition bestimmt die Geschwindigkeit jener relativen Bewegung, an der der Beobachter nicht teilnimmt. Dieser Effekt ist nicht real, sondern scheinbar (wenn wir bestimmte Regeln der SRT benutzen).

Dem Wesen der Formel nach können wir zur zweiten Substitution für die Definition $v_2$ einfach nicht übergehen, obwohl es formell möglich ist, konsequent in den Ausdruck des relativistischen Gesetzes der Geschwindigkeitsaddition soviel man will Geschwindigkeitsgrößen zu substituieren. Im Falle der Addition der Bewegungen entlang einer Geraden bleibt die klassische Eigenschaft der Kommutativität erhalten, und der Widerspruch ist verschleiert. Aber falls die Geschwindigkeitsvektoren nichtkollinear sind, so zeigt sich der Punkt 3) als falsch, und sofort kommen die Widersprüchlichkeit und die Nichtübereinstimmung des Gesetzes der Geschwindigkeitsaddition und der Lorentztransformationen zum Ausdruck.

Im früher betrachteten Beispiel kann man anders handeln: wir werden die Reihenfolge von drei Transformationen der Geschwindigkeiten suchen, die die ursprüngliche Zeit in den Lorentztransformationen unveränderlich beibehält. Dann ist es leicht zu überprüfen, dass die einzige Reihenfolge anstelle (1.7) genommen werden kann:

$$v_1{\bf i}, ~~ v_2{\bf j}, ~~ -v_1\sqrt{1-v_2^2/c^2}{\bf i} - v_2{\bf j} .$$ (1.8)

Doch bleibt erstens die Wendung der Abschnitte. Zweitens befriedigt der neue Satz der Geschwindigkeiten in der gegebenen Reihenfolge das Gesetz der Geschwindigkeitsaddition nicht, das heißt, es hat sich die Ordnung der Substitution der Geschwindigkeiten $v_1$ und $v_2$ ins Gesetz der Geschwindigkeitsaddition tatsächlich geändert (was dem Wesen dieses Gesetzes nicht entspricht). Auf solche Weise werden die Widersprüche einerlei nicht beseitigt. Eine der Erscheinungsformen der Widersprüchlichkeit der SRT ist die Thomas-Präzession: ausgehend von der Reihenfolge der Inertialsysteme (die sich geradlinig und gleichmäßig bewegen), erhält man plötzlich im Ergebnis das Drehen des Gegenstandes (grundsätzlich keine Inertialbewegung). So enthält der Übergang von den in den standardmäßigen Lehrbüchern dargelegten Lorentztransformationen im "mathematischen Raum" 1+1 ($t+x$) zu den Lorentztransformationen im "Raum" 1+2 oder 1+3 physische Widersprüche.

Viele intuitiv verständliche Eigenschaften von physischen Größen verlieren in der SRT ihren Sinn. Zum Beispiel, die relative Geschwindigkeit hört auf, invariant zu sein. Die Teilchen, die entlang einer Geraden mit verschiedenen Geschwindigkeiten rausfliegen, bilden in der SRT einen komplizierten "Fächer der Geschwindigkeiten" für das bewegte System. Die isotrope Verteilung nach den Geschwindigkeiten in der SRT hört auf, als solche für ein anderes bewegtes System zu sein. In Wirklichkeit gibt es in der SRT keine deklarierte Vereinfachung.

Aus der SRT folgt die Unmöglichkeit der Geschwindigkeiten $v>c$ ganz und gar nicht. Und die Ergänzung dazu, dass es sich nur auf die Geschwindigkeit der Signalübertragung bezieht, ist eine künstliche Ergänzung (wegen des Vorhandenseins der offensichtlichen Gegenbeispiele zur erweiterten Erläuterung). Jedoch bleibt der Begriff des Signals (der Information) sogar mit ähnlicher Ergänzung ungenügend determiniert. Zum Beispiel sind wir nicht sicher, wenn wir das Signal vom superneuen Aufblitzen bekommen, daß solche Information in der diametral entgegengesetzten Entfernung vom superneuen Aufblitzen "enthalten ist", das heißt, wir wissen davon mit der Geschwindigkeit $2c$? Oder ist es keine Information? Also kann nur die Information auf dem materiellen Träger elektromagnetischer Natur in der SRT in Absicht sein, die sich im Vakuum konsequent durch alle Punkte des Raumes von der Quelle bis zum Signalempfänger verbreitet.

Machen wir noch eine Bemerkung über die "Merkwürdigkeit" des relativistischen Gesetzes Geschwindigkeitsaddition, die zulässt, Lichtsignale sogar dann auszutauschen, wenn sich die algebraische Summe der Geschwindigkeiten größer zeigt. Lenken wir die Aufmerksamkeit auf die offensichtliche Tatsache: die Signale für den Austausch von Information sollen unbedingt in der Richtung des Objektes und nicht in der entgegengesetzten Richtung geschickt werden. Deshalb gibt es nichts Merkwürdiges im Austausch der Signale, wenn sich $v_1+v_2>v_{signale}$ im klassischen Fall infolge der formalen Addition der Geschwindigkeiten erweist. Es sollen zwei Flugzeuge vom Flugplatz $O$ mit den Geschwindigkeiten $0.9v_{schall}$ auffliegen und fliegen in entgegengesetzten Richtungen der Achse $X$ (das heißt, mit der relativen Geschwindigkeit $1.8v_{schall}$) auseinander. Ob der Austausch von Schallsignalen zwischen ihnen möglich ist? Natürlich! Da sich die Schallwelle in der Luft unabhängig von der Geschwindigkeit der Quelle $S_1$ im Zeitpunkt der Aussendung des Signals fortpflanzt, so wird das erste Flugzeug (das Signal gesendete) die Wellenfront einholen, die sich in der positiven Richtung der Achse $X$ erstreckt, und das zweite Flugzeug wird mit der Wellenfront "wetteifern", die sich in der negativen Richtung der Achse $X$ erstreckt. Beide Flugzeuge bewegen sich langsamer, als sich die nächsten von ihnen entsprechenden Abschnitte der Wellenfront fortpflanzen (Abb. 1.23).

Abbildung 1.23: Signalaustausch.

Auf solche Weise wird die Summe der Geschwindigkeiten in der Realität (auf komplizierte Weise) nicht mit Schallgeschwindigkeit, sondern mit der Größe $2v_{schall}$ (und für das Licht mit der Größe $2c$) verglichen.

Es liegt offen zutage, dass die physische Beschränkung der Geschwindigkeitsgröße von der Mathematik nicht aufgelegt werden kann (die Tatsache, dass negative Größe in einigen Ausdrücken unter dem Wurzelzeichen stehen wird). Man soll sich einfach daran erinnern, dass alle SRT-Formeln unter Anwendung des Austausches von Lichtsignalen (Einstein-Methode der Synchronisation) abgeleitet sind. Wenn sich der Körper sofort schneller als das Licht bewegt, so kann ihn das Signal einfach nicht einholen, das hinterher geschickt ist. Analog ist es möglich, die Synchronisation mit Hilfe des Schalls einzuführen und (es werden auch Besonderheiten in den Formeln vorkommen), aber daraus wird die Unmöglichkeit der Überschallgeschwindigkeiten ganz und gar nicht folgern. Die Geschwindigkeit der Verbreitung von Erregungen (Schall-oder Lichterregungen) im Medium ist keinesfalls mit der Geschwindigkeit der Bewegung eines Körpers durch dieses Medium verbunden.